在一些数学公式的推导中，常会遇到 𝑑 / 𝜕 / 𝛿 \ Δ 等符号。它们背后分别代表的数学含义？
增量
设变量 𝑢 从它的一个初值 𝑢1 变到终值 𝑢2，终值与初值的差 𝑢2−𝑢1 就叫做变量 𝑢 的增量，记作 Δ𝑢，即Δ𝑢=𝑢2−𝑢1
增量 Δ𝑢 可以是正的，也可以是负的。
应该注意到：记号 Δ𝑢 并不表示某个量 Δ 与变量 𝑢 的乘积，而是一个整体不可分割的记号。
举例：
现在假定函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 的某一个邻域内是有定义的。当自变量 𝑥 在这个邻域内从 𝑥0 变到 𝑥0+Δ𝑥 时，函数值（或因变量） 𝑓(𝑥) 相应地从 𝑓(𝑥0) 变到 𝑓(𝑥0+Δ𝑥)，因此，函数值（或因变量） 𝑓(𝑥) 的对应增量为Δ𝑦=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
习惯上也称 Δ𝑦 为函数的增量。
由此，可以定义函数的连续性，如下：
设函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0) 的某一个邻域内有定义，如果，limΔ𝑥→0Δ𝑦=limΔ𝑥→0[𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)]=0，
那么就称函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 连续。
导数
导数的定义： 设函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 的某个邻域内有定义，当自变量 𝑥 在 𝑥0 处取得增量 Δ𝑥 （点 𝑥0+Δ𝑥 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 Δ𝑦=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)；如果 Δ𝑦 与 Δ𝑥 之比当 Δ𝑥→0 时的极限存在，那么称函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处可导，并称这个极限为函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 处的导数，记为 𝑓′(𝑥) ，即𝑓′(𝑥)=limΔ𝑥→0Δ𝑦Δ𝑥=limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)Δ𝑥,
也可记作 𝑦′|𝑥=𝑥0，$$\frac{dy}{dx}|_{x = x_0}$ 或 𝑑𝑓(𝑥)𝑑𝑥|𝑥=𝑥0。
可以看出，导数等于 增量 Δ𝑦 和增量 Δ𝑥 比值的极限。
函数的微分
微分的定义： 设函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在某区间内有定义，𝑥0 及 𝑥0+Δ𝑥 在这个区间内，如果函数的增量Δ𝑦=𝑓(𝑥0+Δ𝑥)−𝑓(𝑥0)
可表示为Δ𝑦=𝐴Δ𝑥+𝑜(Δ𝑥)
其中，𝐴 是不依赖于 Δ𝑥 的常数，那么，称函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 是可微的，而 𝐴Δ𝑥 叫做函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 相应于自变量增量 Δ𝑥 的微分，即𝑑𝑦=𝐴Δ𝑥
注： 函数 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 可微的充要条件是函数 𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 可导。
微分的意思是指，因变量的增量 Δ𝑦，是自变量的增量 Δ𝑥 的线性函数，且记作 𝑑𝑦。所以说，应该有如下关系：
增量 Δ𝑦 是实实在在、真实的变化值。只是，只有当可导的时候，才能写成 Δ𝑦=𝐴Δ𝑥+𝑜(Δ𝑥)=𝑑𝑦+𝑜(Δ𝑥)=𝑑𝑦+𝑜(𝑑𝑦) 。也就是说，微分，只是增量 Δ𝑦 的一个近似值。
另外一点，在定义导数的时候，也是用增量 Δ𝑦 与 Δ𝑥 的比值来定义的，并不是用微分。只是，导数的值，刚好等于微分 𝑑𝑦 与 𝑑𝑥 的比值。
注二： 通常把自变量 𝑥 的增量 Δ𝑥 称为自变量的微分，记作 𝑑𝑥，即 𝑑𝑥=Δ𝑥。于是，函数 𝑦=𝑓(𝑥) 的微分又可记作为𝑑𝑦=𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
从而有𝑑𝑦𝑑𝑥=𝑓′(𝑥)
这就是说，函数的微分 𝑑𝑦 与自变量的微分 𝑑𝑥 之商等于该函数的导数，因此，导数也叫作“微商”。
微分的几何意义
如下图所示，自变量的增量为 Δ𝑥=𝑃𝑅 ，因变量的增量为 Δ𝑦=𝑅𝑄 。那么，在 𝑥0 点作曲线的切线，则得到函数 𝑦=𝑓(𝑥) 在点 𝑥0 相应于自变量增量 Δ𝑥 的微分 𝑑𝑦=𝑅𝑄′ 。
由此可见，对于可微函数 𝑦=𝑓(𝑥) 而言，当 Δ𝑦 是曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 上的点的纵坐标的增量时，𝑑𝑦 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。
只是，当 |Δ𝑥| 很小时，比|Δ𝑦−𝑑𝑦|比|\Delta x| 小得多。因此，在点 M 的邻近，我们可以用切线段来近似代替曲线段。在局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，在几何上就是局部用切线段近似代替曲线段。这在数学上称为非线性函数的局部线性化，这是微分学的基本思想之一。
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
从函数的微分表达式𝑑𝑦=𝑓′(𝑥)𝑑𝑥
可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘自变量的微分。那么，可得到如下的微分公式和微分运算法则：
（略）
偏导数
偏导数的定义： 设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥0,𝑦0) 的某一邻域内有定义，当 𝑦 固定在 𝑦0 而 𝑥 在 𝑥0 处有增量 Δ𝑥 时，相应的函数有增量𝑓(𝑥0+𝑥,𝑦0)−𝑓(𝑥0,𝑦0)
如果limΔ𝑥→0𝑓(𝑥0+Δ𝑥,𝑦0)−𝑓(𝑥0,𝑦0)Δ𝑥
存在，那么称此极限为函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥0,𝑦0) 处对 𝑥 的偏导数，记作𝜕𝑧𝜕𝑥|𝑥=𝑥0𝑦=𝑦0,
如果函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在区域 𝐷 内每一个点 (𝑥,𝑦) 处对 𝑥 的偏导数都存在，那么这个偏导数就是 𝑥，𝑦 的函数，它就称为函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 对自变量 𝑥 的偏导函数，记作或𝜕𝑧𝜕𝑥,𝜕𝑓𝜕𝑥,或𝑓𝑥(𝑥,𝑦)
类似地，可以定义函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 对自变量 𝑦 的偏导函数，记作或𝜕𝑧𝜕𝑦,𝜕𝑓𝜕𝑦,或𝑓𝑦(𝑥,𝑦)
注：偏导数仍然是增量的比值。
偏导数的几何意义：偏导数 𝑓𝑥(𝑥,𝑦) 的几何意义是曲面被平面 𝑦=𝑦0 所截得的曲线在点 𝑥0 处的斜率。
偏微分 / 全微分
根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得𝑓(𝑥+Δ𝑥,𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)≈𝑓𝑥(𝑥,𝑦)Δ𝑥,𝑓(𝑥,𝑦+Δ𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)≈𝑓𝑦(𝑥,𝑦)Δ𝑦,
上面两式的左端分别叫做二元函数对 𝑥 和对 𝑦 的偏增量，而右端分别叫做二元函数对 𝑥 和对 𝑦 的偏微分。
全增量： 设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 𝑃(𝑥,𝑦) 的某个邻域内有定义，𝑃′(𝑥+Δ𝑥,𝑦+Δ𝑦) 为这个邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差 𝑓(𝑥+Δ𝑥,𝑦+Δ𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦) 为函数在点 𝑃 对应于自变量增量 Δ𝑥 和 Δ𝑦 的全增量，记作 Δ𝑧 ，即Δ𝑧=𝑓(𝑥+Δ𝑥,𝑦+Δ𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
注：一般来说，计算全增量 Δ𝑧 比较复杂。与一元函数的情形类似，我们希望用自变量的增量 Δ𝑥 和 Δ𝑦 的线性函数来近似地代替函数的全增量 Δ𝑧，从而引入如下定义：
全微分的定义： 设函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥,𝑦) 的某个邻域内有定义，如果函数在点 (𝑥,𝑦) 的全增量Δ𝑧=𝑓(𝑥+Δ𝑥,𝑦+Δ𝑦)−𝑓(𝑥,𝑦)
可表示为Δ𝑧=𝐴Δ𝑥+𝐵Δ𝑦+𝑜(𝜌)
其中，𝐴 和 𝐵 不依赖于 Δ𝑥 和 Δ𝑦 而仅与 𝑥 和 𝑦 有关，𝜌=(Δ𝑥)2+(Δ𝑦)2，那么称函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥,𝑦) 可微分，而 𝐴Δ𝑥+𝐵Δ𝑦 称为函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥,𝑦) 的全微分，记作 𝑑𝑧 ，即𝑑𝑧=𝐴Δ𝑥+𝐵Δ𝑦
可微与可导的关系
定理1： 如果函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥,𝑦) 可微分，那么该函数在点 (𝑥,𝑦) 的偏导数 𝜕𝑧𝜕𝑥 与 𝜕𝑧𝜕𝑦 必定存在，且函数 𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 在点 (𝑥,𝑦) 的全微分为𝑑𝑧=𝜕𝑧𝜕𝑥Δ𝑥+𝜕𝑧𝜕𝑦Δ𝑦
定理2： 如果函数𝑧=𝑓(𝑥,𝑦) 的偏导数 𝜕𝑧𝜕𝑥 与 𝜕𝑧𝜕𝑦 在点 (𝑥,𝑦) 连续，那么该函数在该点可微分。